引き継ぎについてです｡

ID登録直後の場合は数日の時間が必要です。
また、メールアドレスの方に「バックアップ完了のお知らせ」というメールが送られます。

届いていない間はバックアップ処理が完了していません。
メールアドレスの確認等もしっかり行っておいてください。

1.XFLAG IDを取得している。
・メルアドで登録済みおよびパスワードも覚えている、かつ、ID登録完了の通知メールが到着している。
2.XFLAG IDで1度以上データを保存している。
3.モンストIDが分かっている。
上記3点をクリアしている場合、引き継ぎが可能です。
※ご存知だと思いますが一応、XFLAG IDとモンストIDは違います。

もし、3点共クリアしていない場合、運営での復旧案件になるため、運営に問い合わせするしか方法はありません。

ＩＤやセーブデータに関しては他の回答者様の投稿で既に回答済みなので割愛させていただきます。

もし該当機種がアンドロイドで画面は点くのにタッチパネルが反応しないというのであれば、
市販のＵＳＢマウスを差し込めば操作できる可能性が高いですよ。
むしろそれで操作できない場合、携帯ショップに持っていっても結局メーカー修理に送る（携帯のデータ全消し確定）しかないとなることも。

業界自体が今までいい加減な商売をしてきたのが原因で最近になって色々と国の是正が入ったせいか、
どこの携帯会社もショップによってレベルのバラツキが凄いです。
（少し前にもどこぞのショップ店員が客の携帯データを盗んでたとかでニュースになってましたし・・・）
大切なデータの入った携帯ですから相談するショップは慎重に選びましょう。

最初に言っておきたいのですが、
壊れた旧端末上のモンストデータは安易に削除やリセットは行わないでください！
基本的にモンストのデータ移行で、旧端末上でデータが生きていることが障害になる事はありません！新端末に移行が成功した際に旧端末の方が「引き継ぎが完了してます」などのメッセージが出てログイン出来なくなるだけです。
操作不能であっても、端末上でモンストデータが生きているというのは、データ自体を消失してしまっているよりは遥かに有利な状況ですので、復旧が成功するまでは可能な限りこの有利な状況を保持してください。

以下、自分が知る限りの復旧方法です。
XFLAG ID(モンストのアカウントIDとは別モノ)を用いたバックアップは作成済みでしょうか？これが作成済みならば、あとは新しい端末さえ用意すれば旧端末の状態には一切関係なく自力で復旧出来るので大丈夫です。

バックアップの作成が出来ていない場合ですが…
①非正規の修理ショップに持ち込む
非正規ショップならば、画面割れなどの場合は端末リセットをしない修理も技術的に不可能な場合以外は応じてくれます。ガラスの破損だけで液晶自体は生きているなら、この方法で破損した端末を直せば大丈夫です。

②端末バックアップを作成
iPhoneの場合ですが、壊れた端末をPCに接続してください。iTunes経由で、PC上に壊れた端末のフルバックアップ(フルバックアップでなくても平気かもしれませんが、念のためフルバックアップを！)を作成し、新しいiPhone端末のセットアップの際に「バックアップからの復旧」を選択し、壊れた端末のフルバックアップを利用すれば大丈夫だと思います。
(1年くらい前はこれで大丈夫でした。ただし、その後のモンストアプリの仕様変更で現在は復旧後にログイン出来ない可能性もあります)


自分が知っている限りでは方法はこれくらいです。これらの方法での復旧が不可能ならばモンスト運営に復旧依頼するしかないかもしれません。

引き継ぎの際にモンストアプリでの
バックアップで表示されるメールアドレスと
数字の番号だけで引き継げそうですが
実際はXFLAGIDにログインするための
パスワードも必要です。私のサブ機は
パスワードを思い出せなくて破棄状態です。
気を付けてください。

XFLAG IDを控えてあるのであれば、新しい端末でモンストをインストールをしてIDを打ち込めば間違いなく引き継げると思います。

中身をそのまま別のスマホに移し変えてください。