今年中に運極10体を目指して奮闘中

質問主様の手持ちキャラによっても行けるクエと行けないクエがあるでしょうし、このクエに行く為にまずはこのキャラの運極を作らないと…という目標によっても他の回答者様のアドバイスも大きく変わって来るかと思います。
gamewithの攻略wikiにおすすめ運極が載ってますので、まずはそちらを参考にされるのが宜しいかと思います。

バステトが出来たならジャックでしょう。
ヾ(๑╹◡╹)ﾉ"
ジャックしかない！
豆の木じゃない方ですよ？

進化はギミックに合致しており、キラーが刺さる。ジャックは書庫にも実装され、コツコツできます。
英雄の証が付けられるのも大きいですね。

書庫ホスト、野良参加、今日の降臨で4日で運極になりました。2体目が。
(๑╹ω╹๑ )

紀伊が運極になるのでしたらもう一度バステトを周回して進化と神化の２体ずつ持つというのはいかがでしょうか？
進化は曜日クエや亀クエストとかに周回しやすいですし神化はマイスイ持ちでステータスも高いし、あと水属性のバステトはアンダメにアンチウインドもあるので汎用性も高いと思いますよ。

ハルクでゴースト クイバタでエールソレイユ(これはxの方が良い) 紀伊でセルケト バステトは神化だったらスラッシュかデスアーク サンクチュアリはダークドラゴン どうしても間に合いそうになかったらダークドラゴンを2.3体作ったら運極数稼ぐことができますよ。 頑張れ！

クイバタいるならソレイユがおすすめですね。
ほかの主さんの手持ち次第ですが

ゴースト　ハルク超適正でツクヨミで運枠になりクエストも簡単。
エールソレイユ　Xでもノーマルのままでも汎用性抜群で簡単。
ダクドラ　獣神竜や魔王のボスの降臨で出番多い。
この３体は早めに作ったほうがいいと思いますよ。

他に友情に爆発持ちのキャラは作っといた方がいいです。

ダークドラゴンは作りやすいです。（サンクチュアリがいるから）
今後使うことを重視するなら、ゴーストや沖田総司など超絶の運枠になるキャラを運極にするといいと思います。
ゴーストはハルクがいるため作りやすいと思うのでお勧めです！

手持ちが分からないと何とも言えませんが、AGBの強キャラがいるならオロチマル、AWがいるならヴァニラあたりとか。
エールソレイユや徳川慶喜あたりも難易度低めでいいかも。