教えて下さい！

iPhoneの場合はおっしゃる通りパソコン又はiCloudで、またはモンストの機能（その他→データバックアップ）でGoogle+のアカウントを使ってバックアップ＆復旧することができます。

ただその「できない」という状況がわからなければ助言のしようがないです。
こちらのサイトで「iCloudからデータ復旧」と検索するとiCloudからのデータ復旧方法がいくつかみつかりますのでご自身のやっている方法と違いがないか参照してみてください。

端末というのはiPhone、iPad、Android携帯等の総称です。
そこについても「どーとか」なんていう曖昧なことだけで、やり取りが書いてなければお答えしようがないです。

まずどういう操作をしたけどできなくて、センターとどういうやり取りをしたのか教えていただければと思います。

確かGoogle+でしかバックアップ取れなかった気がします
もし壊れた端末（投稿者さんならiPhone5）が残ってるのなら可能性はあります
PCが必要です
１　まず壊れた端末とPCをUSBケーブルでつなぎます（買ったときに付いてくるコード）
２　PCがiPhone5を認識するか確認（ここで認識しなかったら無理です）
３　PCにiFunBoxというソフトをインストール
４　iFunBoxからモンストをクリックしてDcumentsクリック
５　モンストのセーブデータファイルはdata10とdata13というbinファイルがあるのでPCに保存
６　新しい端末にモンストを入れてdata10とdata13を上書き
７　Google+でバックアップを取る
この方法なら行けるのですが新しい端末がAndroidOSならまた新しいソフト（自分で調べて下さい）が必要ですがbinファイルはiOSもAndroidOSも同じなので大丈夫です。
動画はパズドラのものですが同じ方法でOkです

モンストはググるに保存されるはずですよ！ そしてモンストをダウンロードしたあとググるとモンスト