機種変するときは元の機種のモンストを一旦アンインストール

一時的にしろ、手元に何のデータも残ってない状態を
作り出すとか、バックアップの意味よ。

旧端末でバックアップする。
IDなど引継ぎに必要な情報を控える。
バックアップメールを確認する。
新端末でインストールし、引継ぎを行う。
新端末で引き継げているかを確認する。
旧端末のを消すorそのまま放置。
（たぶんここで旧端末でモンスト起動しようとするから
おかしいことが起こる、新しい端末でちゃんと動作してるなら
旧端末を開く必要性はないでしょ？）

しなくていいし、しない方がいいと思います。

きちんと引き継ぎできればいいですが、引き継ぎできてないのに消したら大変なことになるかもしれませんし。引き継ぎちゃんとできれば、元のは使えなくなるだけです。

機種変の際は(機種変手続きの前に)元の端末でバックアップ(&完了画面保存)
→機種変後の端末で引き継ぎ
→無事に引き継げたら前の機種からアプリ削除
が比較的安全だと思います。

引き継ぐ前に削除とか万が一の事を考えたら怖くて出来ない

使ってた携帯が壊れた時に、新しい携帯でインストールしましたけど、普通にデータは引き継げましたよ。
データさえ保存していれば問題ないと思います。

しなかったら元のアカウントに引き継がれましたって出て使えなくなるだけ

引き継ぎをして前機種は削除もなにもせずに放置しました
先日消して新人隊員にしました