抽選アイスの引き換えについて。

できますよ。

私の場合イオン内の31アイスクリームでしたが、イオンにはフリーwifiがあるので、メルアド認証の必要はありますが、wifiの届く範囲内なら可能です。

後は別端末のテザリングでも可能ではないでしょうか。

31オラゴンは集めてないので憶測ですみませんが、あれってクーポンを見せるんですよね。
予め家で「サーティワンeGiftを受け取る」を選択してクーポンの画面を出しておけば、店舗でネットに繋がなくてもいいんじゃないでしょうか。

店舗にwifiがある所はなさそうなので、上記の方法で無理なら無理っぽい気がします。

wi-fi専用機でも大丈夫ですが、店舗で店員さんがパスワードを入力する必要があるため、引き換え現場で当該端末が何かしらの方法でネット接続出来る必要があります。
フリーwi-fiが使用出来る店舗ならばそれを利用しても問題ないですが、メイン端末(携帯キャリアと回線契約をしている端末)を合わせて持って行って、引き換えの時にテザリング機能でメイン端末経由でネット接続するのが1番汎用性があると思います。メイン端末が圏外でない限り場所を選びませんので。

フリーWi-Fi飛ばしてるショッピングモール内の31ならいけそうですねー。
うちの近くの31はそんな感じの店舗なんですけど、そこならWi-Fiのみの端末でも行けるんですかね。

wifiでのみ繋がる端末では多分ダメかもしれません。

自分はメインとサブ持っていって、メインからテザリングしました。

その31の場所にスポットがあれば大丈夫でしょうけど。

はっきりとはわかりませんが参考程度に

フリーWi-Fiを繋げる場所か、携帯Wi-Fiを持っているならWi-Fiのみの端末でも交換出来ますよ。

Wi-Fiが繋がるところで引き換え画面に行けば問題ないと思います。