データダウンロード

機種 OSのバージョンぐらいは、最低限わからないことには確実な対処法を教えられる人も出て来ないかと。

モンストではなったことがありませんが、私の場合iosのアップデートの直後に 対応出来なくなったアプリがアップデートを繰り返すバグが出たことはあります。が、アプリ側で対応してくれた後は治りました。

サポートに問い合わせする方が早い気もします

まずはOSバージョンと端末が判らないと。
他の方の回答への返信にも書いてませんし。

5GB空いているとの事ですが、実際問題裏で使用中の領域を合わせて見かけ5GB空いている可能性があります。
特にOSのバージョンアップをサボっているとこの可能性があります。
似たような質問でiOSでバージョンアップしたら、ダウンロード済みの更新データが消えて容量が空いて無事治ったという事がありましたよ。

質問分や他の回答へのコメントを見る限り、サポートから提示された容量を増やしたり整理したり、ってのを実質やってないですね。
一回アンストして再度インストール、は無意味です。
立ち上げの度に約1GBのダウンロード、ってのは端末の容量不足のせいでモンストのアプリの一部を一時保管するだけの余裕が無くて、立ち上げの度にアプリ丸々読み込んでるからですね。
それも10分くらいかかるって事は、速度維持の規定容量越えて低速になってるんじゃないかと…
おそらく同時に開いてるサイトやアプリのタブ、ウィンドウが多すぎるのが原因だと思いますけどね。

iPhoneの場合はホームボタン2度押しからの開いてるタブ全部削除、で添付画像の右下の四角が重なってるやつから開いてるウィンドウ一覧出るので完了長押しで全部削除。
Androidだと上から下へのスワイプでお知らせ全部削除、四角マークからの開いてるタブ削除、電源長押しからの再起動。
またFilesなどのアプリで破損したデータや使ってないアプリなど余計なモノを削除する事でだいぶ軽くなると思います。

今のままで毎回1GBとか読み込んでたら20GBまでの定額プランとかあっという間に速度落ちる(設定次第では自動で速度維持の為の容量追加購入処理される)ので、端末内の容量軽くするのは最優先事項ですよ。
どう頑張っても駄目なら料金プランの見直しや容量の大きい端末へ機種変更するのも視野に入れておかないといけませんね。

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iPad mini4で最新OSの場合ですが、容量16GBに対して使用領域12GB超えてくると質問者様のような開幕ダウンロードを始めるようになります。
iPhoneは常に数十GB空いてるのでわかりません。
なので5GBくらいでは余裕なくてギリギリだと思いますよ。

以下は代表的な対策方法です。
・不要なアプリや動画画像を消す
・バックアップの後でリセット⇒復元を実行

端末がiphoneで、icloudでスマホのバックアップしていて、充電しつつwifi繋いだまま寝たりしてます？
私のiosバージョンだとicloudと同期させたあと、空き容量があってもスマホ内のキャッシュだったりゲームの追加データだったりが消えちゃうんで、もしかしたら同じなのかなって。

通常は記憶領域不足が原因となっている挙動ですね。つまり毎日何かの動作時にモンストの一時データが削除されている動きです。

モンスト以外に毎日起動しているアプリで大きな容量を必要とするものに心当たりありませんかね？

もし、そんなものはなくて十分に空きがあるとすれば、端末自体の記憶領域に問題があるかも分かりません。一度初期化を試みるのも一つの手段かと思います。

私も何回かなったことがあります。今でもたまになります。
私の場合は端末の容量不足が原因でした。数GB空けておくといいかもしれません。

もし使用端末がiOSであれば復元をしてみてはどうでしょうか？

www.maturikun.com/entry/iphone-cash-auto