運極をデッキ1のメインにすると

基本的にドロップ入手のモンスターは連れていくにしても超絶系か村雨ですね。
例えば串なんかは自分は龍馬を所持しているのでフレはイザナミを選びます。
同様に毘沙門天では（串が運極じゃないので）運枠をギガマンにして、
ギガマン串ギムの構成でフレは串を選びます。
摩利支天でもフレに目ぼしいのがいなければフレは串です。

このようにフレにドロップ入手を選ぶ場合はなるべくラックが高い方を選びますが・・・より強いガチャ限を押し退けて運枠キャラを選ぶことはまずないですね。
ハート云々も確証は全くないですし。
少なくとも超絶でない降臨モンスターを選ぶことはほぼないです。（強いて例外言うなら神相手の紀伊なら他が微妙なら連れていくかも）

ハート(とその他パワーアップアイテム)の出現率はヒット数でアップ

運はアイテムが出現した時に成長した状態で出やすくなる

と言った感じがいちおうの通説です


ニコ生で「ソロの時はリーダーの運のみ」的発言があったり
その他雑誌類でのインタビューで「出現率にも運が関係あり」的な記述があったりで
ソロでリーダー以外の運が関係あるか？など含め諸説ありハッキリしていません

「パーティのモンスターの運に左右されて出現率が変わるようになっています。」

この”パーティ”が助っ人を加えるかどうかは開発者のみぞ知る所かと思います。
普通に考えるなら、助っ人だけ除外するのは不自然なので関係するとは思いますが、ハートの出やすさを期待して運極を助っ人に連れて行く事はないですね。

ハートが出やすくはなりません。
ですが、出現時に最初から中や金の確率が上がるといわれています。

そこまで顕著ではないです。