モンストの回答詳細

最初に言っておきたいのですが、
壊れた旧端末上のモンストデータは安易に削除やリセットは行わないでください！
基本的にモンストのデータ移行で、旧端末上でデータが生きていることが障害になる事はありません！新端末に移行が成功した際に旧端末の方が「引き継ぎが完了してます」などのメッセージが出てログイン出来なくなるだけです。
操作不能であっても、端末上でモンストデータが生きているというのは、データ自体を消失してしまっているよりは遥かに有利な状況ですので、復旧が成功するまでは可能な限りこの有利な状況を保持してください。

以下、自分が知る限りの復旧方法です。
XFLAG ID(モンストのアカウントIDとは別モノ)を用いたバックアップは作成済みでしょうか？これが作成済みならば、あとは新しい端末さえ用意すれば旧端末の状態には一切関係なく自力で復旧出来るので大丈夫です。

バックアップの作成が出来ていない場合ですが…
①非正規の修理ショップに持ち込む
非正規ショップならば、画面割れなどの場合は端末リセットをしない修理も技術的に不可能な場合以外は応じてくれます。ガラスの破損だけで液晶自体は生きているなら、この方法で破損した端末を直せば大丈夫です。

②端末バックアップを作成
iPhoneの場合ですが、壊れた端末をPCに接続してください。iTunes経由で、PC上に壊れた端末のフルバックアップ(フルバックアップでなくても平気かもしれませんが、念のためフルバックアップを！)を作成し、新しいiPhone端末のセットアップの際に「バックアップからの復旧」を選択し、壊れた端末のフルバックアップを利用すれば大丈夫だと思います。
(1年くらい前はこれで大丈夫でした。ただし、その後のモンストアプリの仕様変更で現在は復旧後にログイン出来ない可能性もあります)


自分が知っている限りでは方法はこれくらいです。これらの方法での復旧が不可能ならばモンスト運営に復旧依頼するしかないかもしれません。